Perché esiste la soglia di 5
Il test del chi quadrato confronta frequenze osservate e attese e valuta la somma con la distribuzione chi quadrato. È un'approssimazione per grandi campioni: le frequenze di cella sono numeri interi, la distribuzione è continua. Più piccole sono le frequenze attese, peggiore è l'approssimazione, e il p-value può risultare nettamente troppo piccolo o troppo grande.
La regola riguarda le frequenze attese. Una cella può tranquillamente contenere 0 o 2 casi osservati. Ciò che conta è E = totale di riga × totale di colonna ÷ totale generale, perché da questo dipende l'approssimazione. Anche la nota di SPSS si riferisce alle frequenze attese.
Formula
E = totale di riga × totale di colonna ÷ totale generale
- Dove
- E
- la frequenza che una cella avrebbe in caso di indipendenza
- totale generale
- la numerosità del campione n
La regola di Cochran
La regola pratica più diffusa risale a William G. Cochran (1954): il test del chi quadrato è accettabile se nessuna frequenza attesa è inferiore a 1 e non più del 20% delle celle ha una frequenza attesa inferiore a 5. Nelle tabelle più grandi una singola cella appena sotto 5 raramente rende il test inutilizzabile.
Nelle tabelle 2×2 la situazione è più severa: una sola cella sotto 5 è già il 25% delle celle. Qui tutte le frequenze attese dovrebbero essere almeno 5, altrimenti la scelta standard è il test esatto di Fisher.
- Nessuna frequenza attesa inferiore a 1.
- Non più del 20% delle celle con frequenza attesa inferiore a 5.
- Nelle tabelle 2×2: tutte le frequenze attese almeno pari a 5.
Che cosa potete fare
Il rimedio adatto dipende dalla dimensione della tabella e dalla domanda di ricerca. Decidete gli accorpamenti prima di vedere quale variante risulta significativa.
- Tabella 2×2: riportate il test esatto di Fisher. Calcola il p-value direttamente dalla distribuzione ipergeometrica, senza approssimazioni.
- Accorpate le categorie poco popolate in modo sensato, per esempio “per niente d'accordo” con “poco d'accordo”, ma non con “né d'accordo né in disaccordo”.
- Tabelle più grandi: usate un test esatto (Fisher–Freeman–Halton) o un p-value Monte Carlo. L'area di lavoro di Crosstabs calcola Fisher–Freeman–Halton appena una frequenza attesa è inferiore a 5 e passa a una stima Monte Carlo con seme fisso quando l'enumerazione esatta diventa troppo onerosa.
- Raccogliete più dati: le frequenze attese crescono con il campione. Altrimenti segnalate il limite nella sezione sui limiti dello studio.
- Ignorare l'avviso o eliminare i casi scomodi: proprio vicino alla soglia di significatività l'errore di approssimazione pesa di più, e le osservazioni eliminate distorcono la tabella.
- La correzione di Yates come rimedio universale: di solito corregge troppo e rende il test conservativo.
Esempio svolto
Esempio: rinnovo dell'abbonamento per piano tariffario
A 40 clienti è stato chiesto se hanno rinnovato l'abbonamento, distinguendo per piano tariffario. I totali marginali sono 24 e 16 (righe) e 30 e 10 (colonne).
La frequenza attesa della cella “Disdetto × Premium” è 16 × 10 ÷ 40 = 4,0. Quindi 1 cella su 4 è sotto 5: in una tabella 2×2 è il 25%, e l'approssimazione del chi quadrato qui è discutibile. La frequenza osservata di questa cella non conta per la verifica.
In questo esempio frequenze osservate e attese coincidono addirittura esattamente: χ² = 0,00, p = 1,000, e anche il test esatto di Fisher dà p = 1,000. Non c'è quindi alcun indizio di associazione. Riportate comunque il test di Fisher, non per il risultato, ma perché per questa tabella è la procedura corretta.
| Base | Premium | Totale | |
|---|---|---|---|
| Rinnovato | 18 (18,0) | 6 (6,0) | 24 |
| Disdetto | 12 (12,0) | 4 (4,0) | 16 |
| Totale | 30 | 10 | 40 |
Dati di esempio della guida inglese (40 intervistati), non uno studio reale. Frequenze attese, χ² e test di Fisher calcolati con il motore di calcolo di Crosstabs.