5라는 기준이 있는 이유
카이제곱 검정은 관측빈도와 기대빈도를 비교하고, 그 합을 카이제곱 분포로 평가합니다. 이는 대표본 근사입니다. 셀 빈도는 정수이고 분포는 연속형이기 때문입니다. 기대빈도가 작을수록 근사가 나빠지고, p-값이 실제보다 상당히 작거나 크게 나올 수 있습니다.
규칙은 기대빈도에 적용됩니다. 관측빈도가 0이나 2인 셀은 그 자체로는 문제가 없습니다. 중요한 것은 근사를 좌우하는 E = 행 합계 × 열 합계 ÷ 전체 합계입니다. SPSS의 각주도 기대빈도를 가리킵니다.
공식
E = 행 합계 × 열 합계 ÷ 전체 합계
- 기호 설명
- E
- 두 변수가 독립일 때 셀에 기대되는 빈도
- 전체 합계
- 표본 크기 n
Cochran 규칙
널리 쓰이는 경험 규칙은 William G. Cochran(1954)에서 나왔습니다. 기대빈도가 1 미만인 셀이 없고, 기대빈도가 5 미만인 셀이 전체의 20% 이하이면 카이제곱 검정을 써도 된다는 것입니다. 큰 표에서는 5에 조금 못 미치는 셀 하나 때문에 검정을 못 쓰게 되는 경우가 드뭅니다.
2×2 표에서는 더 엄격합니다. 셀 하나만 5 미만이어도 이미 전체 셀의 25%입니다. 이때는 모든 기대빈도가 5 이상이어야 하며, 그렇지 않으면 Fisher 정확 검정이 표준 선택입니다.
- 기대빈도가 1 미만인 셀이 없어야 합니다.
- 기대빈도가 5 미만인 셀은 20% 이하여야 합니다.
- 2×2 표에서는 모든 기대빈도가 5 이상이어야 합니다.
대처 방법
어떤 방법이 맞는지는 표의 크기와 연구 질문에 따라 다릅니다. 범주를 합칠지는 어떤 조합이 유의해지는지 보기 전에 정하십시오.
- 2×2 표: Fisher 정확 검정을 보고합니다. 근사 없이 초기하분포에서 p-값을 직접 계산합니다.
- 빈도가 적은 범주를 내용상 의미 있게 합칩니다. 예를 들어 “전혀 동의하지 않음”과 “동의하지 않음”은 합칠 수 있지만 “보통”과는 합치지 않습니다.
- 큰 표: 정확 검정(Fisher–Freeman–Halton)이나 몬테카를로 p-값을 씁니다. Crosstabs 작업 공간은 기대빈도가 5 미만인 셀이 있으면 Fisher–Freeman–Halton 검정을 계산하고, 정확한 열거가 너무 무거우면 고정된 시드의 몬테카를로 추정으로 전환합니다.
- 자료를 더 모읍니다. 기대빈도는 표본과 함께 커집니다. 그럴 수 없다면 한계 절에 이 제약을 밝히십시오.
- 경고를 무시하거나 방해되는 사례를 지우기: 유의성 경계 근처일수록 근사 오차가 중요하고, 지운 관측치는 표를 왜곡합니다.
- Yates 연속성 보정을 만능 해법으로 쓰기: 대개 과도하게 보정해 검정을 보수적으로 만듭니다.
계산 예제
예제: 요금제별 구독 갱신
고객 40명에게 구독을 갱신했는지 요금제별로 물었습니다. 주변 합계는 행 24, 16, 열 30, 10입니다.
“해지 × 프리미엄” 셀의 기대빈도는 16 × 10 ÷ 40 = 4.0입니다. 따라서 셀 4개 중 1개가 5 미만이며, 2×2 표에서는 25%에 해당하므로 카이제곱 근사를 믿기 어렵습니다. 이 셀의 관측빈도는 판단에 영향을 주지 않습니다.
이 예제에서는 관측빈도와 기대빈도가 정확히 같습니다. χ² = 0.00, p = 1.000이고 Fisher 정확 검정도 p = 1.000입니다. 즉 관련의 흔적이 전혀 없습니다. 그래도 Fisher 검정을 보고하십시오. 결과 때문이 아니라 이 표에 맞는 방법이기 때문입니다.
| 베이직 | 프리미엄 | 합계 | |
|---|---|---|---|
| 갱신 | 18 (18.0) | 6 (6.0) | 24 |
| 해지 | 12 (12.0) | 4 (4.0) | 16 |
| 합계 | 30 | 10 | 40 |
영문 가이드의 예제 데이터(응답자 40명)이며 실제 조사가 아닙니다. 기대빈도, χ², Fisher 검정은 Crosstabs 계산 엔진으로 산출했습니다.