Pourquoi la limite de 5 existe
Le test du khi-deux compare effectifs observés et effectifs théoriques, puis évalue la somme à l’aide de la loi du khi-deux. C’est une approximation valable pour les grands échantillons : les effectifs sont des nombres entiers, la loi est continue. Plus les effectifs théoriques sont petits, moins l’approximation est bonne, et la p-valeur peut être nettement trop faible ou trop élevée.
La règle porte sur les effectifs théoriques. Une case peut sans problème contenir 0 ou 2 observations. Ce qui compte, c’est T = total de la ligne × total de la colonne ÷ total général, car c’est de lui que dépend l’approximation. La note de bas de tableau de SPSS se réfère elle aussi aux effectifs théoriques.
Formule
T = total de la ligne × total de la colonne ÷ total général
- Où
- T
- l’effectif qu’aurait la case en cas d’indépendance
- total général
- la taille de l’échantillon n
La règle de Cochran
La règle empirique la plus répandue remonte à William G. Cochran (1954) : le test du khi-deux est acceptable si aucun effectif théorique n’est inférieur à 1 et si au plus 20 % des cases ont un effectif théorique inférieur à 5. Dans les grands tableaux, une seule case légèrement sous 5 rend rarement le test inutilisable.
Pour les tableaux 2×2, l’exigence est plus stricte : une seule case sous 5 représente déjà 25 % des cases. Tous les effectifs théoriques devraient alors être au moins égaux à 5 ; sinon, le test exact de Fisher est le choix standard.
- Aucun effectif théorique inférieur à 1.
- Au plus 20 % des cases avec un effectif théorique inférieur à 5.
- Dans un tableau 2×2 : tous les effectifs théoriques au moins égaux à 5.
Les solutions possibles
La bonne solution dépend de la taille du tableau et de la question posée. Décidez des regroupements avant de regarder quelle variante devient significative.
- Tableau 2×2 : rapportez le test exact de Fisher. Il calcule la p-valeur directement à partir de la loi hypergéométrique, sans approximation.
- Regroupez de façon pertinente les modalités trop peu fournies, par exemple « pas du tout d’accord » avec « plutôt pas d’accord » – mais pas avec « ni d’accord ni pas d’accord ».
- Tableaux plus grands : utilisez un test exact (Fisher–Freeman–Halton) ou une p-valeur de Monte-Carlo. L’espace de travail Crosstabs calcule le test de Fisher–Freeman–Halton dès qu’un effectif théorique est inférieur à 5, et passe à une estimation de Monte-Carlo à graine fixe lorsque l’énumération exacte devient trop lourde.
- Collecter davantage de données : les effectifs théoriques augmentent avec l’échantillon. Sinon, mentionnez la limite dans la section consacrée aux limites de l’étude.
- Ignorer l’alerte ou supprimer les observations gênantes : c’est justement près du seuil de significativité que l’erreur d’approximation pèse le plus, et supprimer des observations biaise le tableau.
- Voir la correction de Yates comme une solution miracle : elle corrige généralement trop et rend le test conservateur.
Exemple chiffré
Exemple : renouvellement de l’abonnement selon la formule
On a demandé à 40 clients s’ils avaient renouvelé leur abonnement, en distinguant la formule souscrite. Les marges valent 24 et 16 (lignes), 30 et 10 (colonnes).
L’effectif théorique de la case « Résilié × Premium » vaut 16 × 10 ÷ 40 = 4,0. Ainsi, 1 case sur 4 est inférieure à 5 – dans un tableau 2×2, cela fait 25 % et l’approximation du khi-deux devient discutable. L’effectif observé de cette case ne joue aucun rôle dans cette vérification.
Dans cet exemple, effectifs observés et théoriques coïncident même exactement : χ² = 0,00, p = 1,000, et le test exact de Fisher donne lui aussi p = 1,000. Rien n’indique donc une liaison. Rapportez tout de même le test de Fisher – non pas pour son résultat, mais parce que c’est la méthode adaptée à ce tableau.
| Essentiel | Premium | Total | |
|---|---|---|---|
| Renouvelé | 18 (18,0) | 6 (6,0) | 24 |
| Résilié | 12 (12,0) | 4 (4,0) | 16 |
| Total | 30 | 10 | 40 |
Données d’exemple du guide anglais (40 répondants), pas une étude réelle. Effectifs théoriques, χ² et test de Fisher calculés avec le moteur de calcul de Crosstabs.