なぜ「5」という基準があるのか
カイ二乗検定は観測度数と期待度数を比べ、その合計をカイ二乗分布で評価します。これは大標本のための近似です。セル度数は整数なのに、分布は連続だからです。期待度数が小さいほど近似は悪くなり、p 値が大きくずれることがあります。
基準が見ているのは期待度数です。観測度数が 0 や 2 のセルがあっても、それ自体は問題ありません。重要なのは E = 行合計 × 列合計 ÷ 総数で、近似の良し悪しはこれで決まります。SPSS の注記も期待度数について述べています。
計算式
E = 行合計 × 列合計 ÷ 総数
- 記号の意味
- E
- 独立だった場合にそのセルに入るはずの度数
- 総数
- 標本サイズ n
Cochran の基準
広く使われる目安は William G. Cochran（1954）にさかのぼります。期待度数が 1 未満のセルがなく、期待度数 5 未満のセルが全体の 20% 以下であれば、カイ二乗検定は許容できます。大きな表では、5 をわずかに下回るセルが 1 つあっても検定が使えなくなることはまれです。
2×2 表ではもっと厳しくなります。5 未満のセルが 1 つあるだけで全セルの 25% です。2×2 表ではすべての期待度数が 5 以上であることが望ましく、満たさなければ Fisher の正確検定が標準的な選択です。
- 期待度数が 1 未満のセルがない。
- 期待度数が 5 未満のセルは全体の 20% 以下。
- 2×2 表では、すべての期待度数が 5 以上。
取れる対処法
どの対処が適切かは、表の大きさと分析の問いによって決まります。カテゴリの統合は、どの組み合わせが有意になるかを見る前に決めてください。
- 2×2 表：Fisher の正確検定を報告します。近似を使わず、超幾何分布から p 値を直接計算します。
- 度数の少ないカテゴリを、内容的に意味のある形でまとめます。「まったくそう思わない」と「そう思わない」は統合できますが、「どちらともいえない」とは統合しません。
- 大きな表：正確検定（Fisher–Freeman–Halton）か Monte Carlo 法の p 値を使います。Crosstabs のワークスペースは期待度数 5 未満のセルがあると Fisher–Freeman–Halton 検定を計算し、正確な列挙が重すぎる場合は固定シードの Monte Carlo 推定に切り替えます。
- データを増やす：期待度数は標本とともに大きくなります。難しければ、限界として報告書に明記します。
- 警告を無視する、都合の悪いケースを削除する：有意水準付近ほど近似誤差の影響は大きく、削除した観測は表を歪めます。
- Yates の連続性補正を万能薬とみなす：たいてい補正しすぎて検定が保守的になります。
計算例
計算例：プラン別の契約継続
40 人の顧客に、サブスクリプションを継続したかどうかをプラン別に尋ねました。周辺合計は行が 24 と 16、列が 30 と 10 です。
「解約 × プレミアム」の期待度数は 16 × 10 ÷ 40 = 4.0 です。したがって 4 セル中 1 セルが 5 未満、2×2 表では 25% にあたり、カイ二乗近似は疑わしくなります。このセルの観測度数は判定に関係しません。
この例では観測度数と期待度数が完全に一致しています。χ² = 0.00、p = 1.000、Fisher の正確検定も p = 1.000 です。関連を示す証拠はまったくありません。それでも Fisher の検定を報告してください。結果のためではなく、この表にはそれが正しい手法だからです。
| ベーシック | プレミアム | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 継続 | 18（18.0） | 6（6.0） | 24 |
| 解約 | 12（12.0） | 4（4.0） | 16 |
| 合計 | 30 | 10 | 40 |
英語版ガイドのサンプルデータ（回答者 40 人）で、実際の調査ではありません。期待度数、χ²、Fisher の検定は Crosstabs の計算エンジンで算出しています。