Warum die Grenze von 5 existiert
Der Chi-Quadrat-Test vergleicht beobachtete und erwartete Häufigkeiten und bewertet die Summe mit der Chi-Quadrat-Verteilung. Das ist eine Näherung für große Stichproben: Zellhäufigkeiten sind ganze Zahlen, die Verteilung ist stetig. Je kleiner die erwarteten Häufigkeiten, desto schlechter passt die Näherung, und der p-Wert kann deutlich zu klein oder zu groß ausfallen.
Die Regel gilt den erwarteten Häufigkeiten. Eine Zelle darf ohne Weiteres 0 oder 2 beobachtete Fälle enthalten. Entscheidend ist E = Zeilensumme × Spaltensumme ÷ Gesamtsumme, denn davon hängt die Näherung ab. Auch die Fußnote in SPSS bezieht sich auf erwartete Häufigkeiten.
Formel
E = Zeilensumme × Spaltensumme ÷ Gesamtsumme
- Dabei gilt
- E
- die Häufigkeit, die eine Zelle bei Unabhängigkeit hätte
- Gesamtsumme
- der Stichprobenumfang n
Die Cochran-Regel
Die verbreitete Faustregel geht auf William G. Cochran (1954) zurück: Der Chi-Quadrat-Test ist vertretbar, wenn keine erwartete Häufigkeit unter 1 liegt und höchstens 20 % der Zellen eine erwartete Häufigkeit unter 5 haben. In größeren Tabellen macht eine einzelne Zelle knapp unter 5 den Test selten unbrauchbar.
Bei 2×2-Tabellen ist die Lage strenger: Eine einzige Zelle unter 5 sind bereits 25 % aller Zellen. Hier sollten alle erwarteten Häufigkeiten mindestens 5 betragen, sonst ist der exakte Test nach Fisher die Standardwahl.
- Keine erwartete Häufigkeit unter 1.
- Höchstens 20 % der Zellen mit erwarteter Häufigkeit unter 5.
- In 2×2-Tabellen: alle erwarteten Häufigkeiten mindestens 5.
Was Sie tun können
Welche Abhilfe passt, hängt von der Tabellengröße und von der Frage ab. Entscheiden Sie über Zusammenfassungen, bevor Sie sehen, welche Variante signifikant wird.
- 2×2-Tabelle: den exakten Test nach Fisher berichten. Er berechnet den p-Wert direkt aus der hypergeometrischen Verteilung, ohne Näherung.
- Dünn besetzte Kategorien inhaltlich sinnvoll zusammenfassen, etwa „stimme gar nicht zu“ mit „stimme nicht zu“ – nicht aber mit „teils, teils“.
- Größere Tabellen: einen exakten Test (Fisher–Freeman–Halton) oder einen Monte-Carlo-p-Wert verwenden. Der Crosstabs-Arbeitsbereich rechnet Fisher–Freeman–Halton, sobald eine erwartete Häufigkeit unter 5 liegt, und weicht auf eine Monte-Carlo-Schätzung mit festem Startwert aus, wenn die exakte Aufzählung zu aufwendig wird.
- Mehr Daten erheben: Erwartete Häufigkeiten wachsen mit der Stichprobe. Erwähnen Sie die Grenze sonst im Abschnitt zu den Limitationen.
- Die Warnung ignorieren oder störende Fälle löschen: Gerade nahe der Signifikanzschwelle zählt der Näherungsfehler am meisten, und gelöschte Beobachtungen verzerren die Tabelle.
- Die Yates-Korrektur als Allheilmittel: Sie korrigiert meist zu stark und macht den Test konservativ.
Rechenbeispiel
Beispiel: Vertragsverlängerung nach Tarif
40 Kundinnen und Kunden wurden gefragt, ob sie ihr Abonnement verlängert haben, getrennt nach Tarif. Die Randsummen sind 24 und 16 (Zeilen) sowie 30 und 10 (Spalten).
Die erwartete Häufigkeit der Zelle „Gekündigt × Premium“ ist 16 × 10 ÷ 40 = 4,0. Damit liegt 1 von 4 Zellen unter 5 – in einer 2×2-Tabelle sind das 25 %, die Chi-Quadrat-Näherung ist hier fragwürdig. Die beobachtete Häufigkeit dieser Zelle spielt für die Prüfung keine Rolle.
In diesem Beispiel stimmen beobachtete und erwartete Häufigkeiten sogar exakt überein: χ² = 0,00, p = 1,000, und der exakte Test nach Fisher liefert ebenfalls p = 1,000. Es gibt also keinerlei Hinweis auf einen Zusammenhang. Berichten Sie trotzdem den Fisher-Test – nicht wegen des Ergebnisses, sondern weil er bei dieser Tabelle das richtige Verfahren ist.
| Basis | Premium | Summe | |
|---|---|---|---|
| Verlängert | 18 (18,0) | 6 (6,0) | 24 |
| Gekündigt | 12 (12,0) | 4 (4,0) | 16 |
| Summe | 30 | 10 | 40 |
Beispieldaten des englischen Leitfadens (40 Befragte), keine echte Studie. Erwartete Häufigkeiten, χ² und Fisher-Test mit der Rechenengine von Crosstabs berechnet.