crosstabs.
Navigation öffnen
ÖffnenArbeitsbereich öffnen

Marktforschungs-Tools · Umfragestatistik

Fehlertoleranz-Rechner

Berechnen Sie die Fehlertoleranz eines Umfrageprozentwerts und vier Konfidenzintervalle – unter Berücksichtigung von Gewichtung (Designeffekt) und kleinen Grundgesamtheiten.

Tool starten Vollständigen Arbeitsbereich öffnen

Fehlertoleranz online berechnen

Geben Sie Stichprobengröße und Prozentwert (oder die Anzahl) ein, wählen Sie das Konfidenzniveau und optional Grundgesamtheit und Designeffekt. Sie können auch eine Befragungsdatei öffnen; sie wird nur im Browser gelesen.

Ergebnis eingeben als

Abgeschlossene Interviews in der Basis, vor der Gewichtung.

%

Nehmen Sie 50 %, solange Sie es nicht wissen: Das ergibt die größte (sicherste) Fehlertoleranz.

Wendet die Endlichkeitskorrektur auf die Fehlertoleranz an.

1,0 bei einer einfachen Zufallsstichprobe. Gewichtung und Klumpung erhöhen ihn.

Designeffekt aus Gewichten berechnen

Eines pro Zeile oder durch Kommas oder Leerzeichen getrennt. Kish: deff = n·Σw² / (Σw)².

Oder aus einer Befragungsdatei lesen

Wählen Sie die Frage, die zählenden Antworten und optional eine Gewichtungsspalte. Die Datei bleibt in diesem Tab.

CSV, Excel, SPSS, Stata, SAS, R, Parquet, SQLite oder JSON. Die Datei wird in diesem Browser-Tab gelesen und nie hochgeladen. Wählen Sie bei Triple-S die Metadatendatei (.sss oder .xml) und die zugehörige Datendatei gemeinsam aus.

Fehlertoleranz bei 95% Konfidenz

± 3,1%

Der Schätzwert ist 50,0% ± 3,1%: Das Wald-Intervall reicht von 46,9% bis 53,1%. Bei kleinen Stichproben oder Anteilen nahe 0 % oder 100 % lesen Sie das Wilson- oder das exakte Intervall unten.

Basis n = 1000 · effektives n = 1000,0 (deff 1,00)

MOE = z · √(deff · p(1 − p) / n) · FPC = 1,960 × 0,01581 = 0,03099

Konfidenzintervalle

Alle vier verwenden die effektive Stichprobengröße (n ÷ deff). Die Endlichkeitskorrektur wird nur auf die Fehlertoleranz angewendet.

Konfidenzintervalle für den Anteil
MethodeUntergrenzeObergrenzeBreite0–100%
Wald (Normalapproximation)Die klassische ±-Fehlertoleranz. Zu schmal bei kleinem n oder extremem p.46,90%53,10%6,20%
Wilson-ScoreEmpfohlener Standard: gute Überdeckung bei jedem n und p.46,91%53,09%6,19%
Clopper–Pearson (exakt)Garantierte Überdeckung; konservativ (etwas breiter).46,85%53,15%6,29%
Agresti–Coullz²/2 Ja- und Nein-Antworten addieren, dann Wald. Einfach und nah an Wilson.46,91%53,09%6,19%

Fehlertoleranz nach Stichprobengröße

±-Fehlertoleranz bei p = 50%, Designeffekt 1,00; live mit derselben Formel berechnet. Ihr n ist hervorgehoben, wenn es in der Liste steht.

Fehlertoleranz nach Stichprobengröße und Konfidenzniveau
n± 90%± 95%± 99%
5011,6%13,9%18,2%
1008,2%9,8%12,9%
2005,8%6,9%9,1%
3004,7%5,7%7,4%
4004,1%4,9%6,4%
5003,7%4,4%5,8%
6003,4%4,0%5,3%
8002,9%3,5%4,6%
1.0002,6%3,1%4,1%
1.5002,1%2,5%3,3%
2.0001,8%2,2%2,9%
2.5001,6%2,0%2,6%
3.0001,5%1,8%2,4%
5.0001,2%1,4%1,8%
10.0000,8%1,0%1,3%

Planen Sie erst eine Befragung? Der Stichprobenrechner rechnet von einer Ziel-Fehlertoleranz rückwärts.

01

Ein Prozentwert, vier Konfidenzintervalle

Das übliche ± ist das Wald-Intervall. Bei großen Stichproben und mittleren Anteilen ist es in Ordnung, bei kleinem n oder Anteilen nahe 0 % oder 100 % liegt die tatsächliche Überdeckung jedoch deutlich unter den nominalen 95 %; bei 0 % behauptet es sogar, es gebe keine Unsicherheit.

Das Wilson-Score-Intervall behebt das und ist der empfohlene Standard. Clopper–Pearson invertiert den exakten Binomialtest, garantiert die Überdeckung und ist etwas breiter. Agresti–Coull addiert z²/2 Ja- und Nein-Antworten und wendet dann die Wald-Formel an; das Ergebnis liegt nahe bei Wilson.

  • Fehlertoleranz = z · √(deff · p(1 − p) ÷ n) · √((N − n) ÷ (N − 1))
  • z: kritischer Wert, 1,645 bei 90 %, 1,960 bei 95 %, 2,576 bei 99 %; p: beobachteter Anteil (zur Planung 0,5).
  • deff: Designeffekt; bei reiner Gewichtung Kish-deff = n·Σw² ÷ (Σw)², effektives n = n ÷ deff.
  • N: Grundgesamtheit; der letzte Faktor ist die Endlichkeitskorrektur und entfällt bei sehr großen Grundgesamtheiten.
02

Rechenbeispiel (synthetische Daten)

Im synthetischen Snackmarken-Tracker dieser Website (programmgenerierte Beispieldaten, keine echten Befragten) sind 149 von 596 Befragten Promotoren (Weiterempfehlung 9–10), also p = 25,0%.

Bei 95 % Konfidenz ist die Fehlertoleranz 1,960 × √(0,250 × 0,750 ÷ 596) = ±3,5%. Das Wilson-Intervall ist 21,7% – 28,6%, das exakte Clopper–Pearson-Intervall 21,6% – 28,7%; bei dieser Stichprobengröße liegen die Methoden dicht beieinander.

Sind die Daten gewichtet und beträgt der Designeffekt 1,5, sinkt das effektive n auf 397 und die Fehlertoleranz steigt auf ±4,3%.

03

Wann verwenden – und wann nicht

Die Fehlertoleranz beschreibt den Stichprobenfehler eines einzelnen Anteils aus einer Zufallsstichprobe.

  • Genauigkeit eines Umfrage- oder Wahlumfrageergebnisses angeben.
  • Zeigen, warum kleine Teilgruppen viel größere Fehlertoleranzen haben als die Gesamtstichprobe.
  • Abschätzen, wie viel effektive Stichprobe die Gewichtung kostet.
  • Nicht für den Vergleich zweier Prozentwerte: Die einzelnen Fehlertoleranzen sind nicht die der Differenz – nutzen Sie den z-Test für zwei Anteile.
  • Nicht für Mittelwerte oder Skalen-Durchschnitte: Dafür braucht es die Standardabweichung statt p(1 − p).
  • Nicht als Maß für Abdeckungs- oder Selbstselektionsfehler bei nicht zufälligen Online-Stichproben.
04

So lesen Sie das Ergebnis

Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet: Bei wiederholten Stichproben würden etwa 95 % der so berechneten Intervalle den wahren Anteil enthalten. Zwei Prozentwerte derselben Umfrage können signifikant verschieden sein, obwohl sich ihre Intervalle überlappen (und umgekehrt) – testen Sie die Differenz direkt.

Quellen

Weiterführende Literatur

  • Wilson, E. B. (1927). Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association, 22(158), 209–212.

  • Clopper, C. J., & Pearson, E. S. (1934). The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial. Biometrika, 26(4), 404–413.

  • Brown, L. D., Cai, T. T., & DasGupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133.

  • Kish, L. (1965). Survey Sampling. New York: Wiley.

  • statsmodels — proportion_confint

FAQ

Häufige Fragen

Welche Fehlertoleranz ist für eine Umfrage angemessen?

Viele veröffentlichte Umfragen zielen auf etwa ±3 Prozentpunkte bei 95 % Konfidenz (rund 1.000 Befragte), doch das richtige Ziel hängt von der Entscheidung ab. Die Fehlertoleranz sinkt mit der Wurzel aus n: Viermal so viele Befragte halbieren sie nur.

Warum rechnet man mit p = 50 %?

p(1 − p) ist bei p = 0,5 am größten, daher ergibt 50 % die breiteste Fehlertoleranz. Das ist die sichere Wahl bei der Planung oder wenn für einen ganzen Fragebogen nur eine Fehlertoleranz angegeben wird.

Welches Konfidenzintervall sollte ich berichten?

In der Regel das Wilson-Intervall, weil es bei allen Stichprobengrößen und Anteilen nahe an der nominalen Überdeckung liegt. Clopper–Pearson, wenn die Überdeckung garantiert sein muss; Wald nur bei großen Stichproben und Anteilen fern von 0 % und 100 %.

Wie wirkt sich Gewichtung auf die Fehlertoleranz aus?

Ungleiche Gewichte erhöhen die Varianz. Der Kish-Designeffekt deff = n·Σw² ÷ (Σw)² misst das; n ÷ deff ist das effektive n, das in die Formel eingeht. Bei deff = 1,5 entsprechen 1.000 Interviews nur etwa 667 effektiven Fällen.

Wann brauche ich die Endlichkeitskorrektur?

Wenn die Stichprobe einen großen Teil der Grundgesamtheit ausmacht – als Faustregel mehr als etwa 5 %, etwa 300 Befragte aus 2.000 Beschäftigten. Bei landesweiten Grundgesamtheiten ist der Faktor praktisch 1.

Verwandte Tools

z-Test für zwei AnteileUnterschied zweier Prozentwerte oder A/B-Konversionsraten testen, mit Konfidenzintervall und Teststärke.t-Test-RechnerWelch-, Student-, verbundener und Einstichproben-t-Test aus Kennwerten oder Rohdaten, mit Cohens d.ANOVA-RechnerEinfaktorielle Varianzanalyse mit Welch-F, η², ω², Tukey-HSD und Kruskal–Wallis.

Analysieren Sie Ihre eigene Befragungsdatei

Öffnen Sie eine CSV-, Excel- oder SPSS-Datei (.sav) und starten Sie die Analyse direkt im Browser. Kostenlos und ohne Konto – Ihre Daten verlassen Ihren Rechner nicht.

Vollständigen Arbeitsbereich öffnen

· Englische Version