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誤差範圍計算器

計算調查百分比的誤差範圍和四種信賴區間，並考慮加權造成的設計效應與有限母體校正。

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線上計算誤差範圍

輸入樣本數和百分比（或次數），選擇信賴水準，可選填母體大小和設計效應。也可以開啟問卷資料檔，選擇題目和權重欄位；檔案只在瀏覽器中讀取，不會上傳。

結果輸入方式

加權前的完成樣本數。

%

還不確定時用 50%：誤差範圍最大（最保守）。

對誤差範圍套用有限母體校正。

簡單隨機樣本為 1.0；加權和集群抽樣會使它變大。

由權重計算設計效應

每行一個，或以逗號、空格分隔。Kish 公式：deff = n·Σw² / (Σw)²。

或從問卷資料檔讀取

選擇題目和計為「是」的選項，可再選一個權重欄位。檔案只在這個瀏覽器分頁中讀取。

支援 CSV、Excel、SPSS、Stata、SAS、R、Parquet、SQLite 或 JSON。檔案只在這個瀏覽器分頁中讀取，不會上傳。 Triple-S 資料請同時選取 .sss 或 .xml 中繼資料檔案及其資料檔案。

95% 信賴水準下的誤差範圍

± 3.1%

估計值為 50.0% ± 3.1%：Wald 區間為 46.9% 至 53.1%。樣本較小或比例接近 0% 或 100% 時，請看下方的 Wilson 或精確區間。

樣本數 n = 1000 · 有效樣本數 = 1000.0（deff 1.00）

MOE = z · √(deff · p(1 − p) / n) · FPC = 1.960 × 0.01581 = 0.03099

信賴區間

四種方法都使用有效樣本數（n ÷ deff）。有限母體校正只套用在誤差範圍上。

比例的信賴區間
方法下限上限寬度0–100%
Wald（常態近似）教科書上的 ± 誤差範圍。小樣本或極端比例時偏窄。46.90%53.10%6.20%
Wilson 分數區間建議的預設方法：各種樣本數和比例下涵蓋率都不錯。46.91%53.09%6.19%
Clopper–Pearson 精確區間保證涵蓋率，偏保守（略寬）。46.85%53.15%6.29%
Agresti–Coull 區間先各加 z²/2 個「是」和「否」，再用 Wald 公式；結果接近 Wilson。46.91%53.09%6.19%

不同樣本數下的誤差範圍

比例 p = 50%、設計效應 1.00 時的 ± 誤差範圍，以同一公式即時計算。目前的樣本數在表中時會醒目標示。

不同樣本數和信賴水準下的誤差範圍
n± 90%± 95%± 99%
5011.6%13.9%18.2%
1008.2%9.8%12.9%
2005.8%6.9%9.1%
3004.7%5.7%7.4%
4004.1%4.9%6.4%
5003.7%4.4%5.8%
6003.4%4.0%5.3%
8002.9%3.5%4.6%
1,0002.6%3.1%4.1%
1,5002.1%2.5%3.3%
2,0001.8%2.2%2.9%
2,5001.6%2.0%2.6%
3,0001.5%1.8%2.4%
5,0001.2%1.4%1.8%
10,0000.8%1.0%1.3%

還在規劃調查？ 樣本數計算器 可以從目標誤差範圍反推所需樣本數。

01

一個百分比，四種信賴區間

常見的 ± 誤差範圍就是 Wald 區間。樣本大、比例居中時沒有問題，但樣本小或比例接近 0% 或 100% 時，實際涵蓋率會明顯低於名目上的 95%；比例為 0 時它甚至聲稱沒有任何不確定性。

Wilson 分數區間修正了這個問題，是一般建議的預設方法；Clopper–Pearson 區間由精確二項檢定反推，保證涵蓋率但略寬；Agresti–Coull 區間先各加 z²/2 個「是」和「否」，再套用 Wald 公式，結果接近 Wilson。

  • 誤差範圍 = z · √(deff · p(1 − p) ÷ n) · √((N − n) ÷ (N − 1))
  • z：臨界值，90% 為 1.645，95% 為 1.960，99% 為 2.576；p：觀察到的比例，規劃階段用 0.5。
  • deff：設計效應；只考慮加權時，Kish 設計效應 = n·Σw² ÷ (Σw)²，有效樣本數 = n ÷ deff。
  • N：母體大小；最後一項是有限母體校正，母體很大時可以省略。
02

範例（合成資料）

在本站的合成零食品牌追蹤資料中（程式產生的範例資料，不是真實受訪者），596 位受訪者裡有 149 位是推薦者（推薦意願 9–10 分），比例 p = 25.0%。

95% 信賴水準下，誤差範圍 = 1.960 × √(0.250 × 0.750 ÷ 596) = ±3.5%。Wilson 區間為 21.7% – 28.6%，Clopper–Pearson 精確區間為 21.6% – 28.7%；樣本數這麼大時，幾種方法的結果非常接近。

如果資料經過加權、設計效應為 1.5，有效樣本數會降到 397，誤差範圍擴大到 ±4.3%。

03

什麼時候使用，什麼時候不要用

誤差範圍描述的是隨機樣本中單一比例的抽樣誤差。

  • 報告單一調查百分比或民調結果的精確度。
  • 說明小樣本子群的誤差範圍為什麼比整體大得多。
  • 評估加權損失了多少有效樣本數。
  • 不要用來比較兩個百分比：各自的誤差範圍不是差異的誤差範圍，請使用兩比例 z 檢定。
  • 不要用於平均數或評分題的平均分：需要標準差，而不是 p(1 − p)。
  • 無法衡量非機率線上樣本的涵蓋偏誤或自我選擇偏誤。
04

如何解讀

95% 信賴區間的意思是：重複抽樣時，用這種方法得到的區間約有 95% 會包含母體的真實比例。同一份調查中的兩個百分比，即使區間重疊仍可能有顯著差異（反之亦然），應直接檢定兩者的差異。

參考資料

延伸閱讀

  • Wilson, E. B. (1927). Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association, 22(158), 209–212.

  • Clopper, C. J., & Pearson, E. S. (1934). The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial. Biometrika, 26(4), 404–413.

  • Brown, L. D., Cai, T. T., & DasGupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133.

  • Kish, L. (1965). Survey Sampling. New York: Wiley.

  • statsmodels — proportion_confint

常見問題

常見問題

調查的誤差範圍多大才合適？

許多公開民調以 95% 信賴水準下約 ±3 個百分點為目標（約 1,000 個樣本），但合適的目標取決於要支持的決策。誤差範圍隨 n 的平方根縮小：樣本數變為 4 倍，誤差範圍只減半。

為什麼用 p = 50%？

p(1 − p) 在 p = 0.5 時最大，因此 50% 會得到最寬的誤差範圍。在結果未知的規劃階段，或整份問卷只報告一個誤差範圍時，這是最穩妥的選擇。

應該報告哪一種信賴區間？

通常建議 Wilson 區間：在各種樣本數和比例下都接近名目涵蓋率。需要保證涵蓋率不低於名目水準時選擇 Clopper–Pearson；樣本大且比例遠離 0% 和 100% 時，Wald 區間也可以接受。

加權會如何影響誤差範圍？

權重不均會增大變異數。Kish 設計效應 deff = n·Σw² ÷ (Σw)² 衡量增大的程度；以 n 除以 deff 得到有效樣本數，再代入公式。deff 為 1.5 時，1,000 個樣本只相當於約 667 個有效樣本。

什麼時候使用有限母體校正？

當樣本占母體的比例較大時，常用的經驗法則是超過約 5%，例如在 2,000 名員工中調查 300 人。全國等大母體的校正係數幾乎等於 1，可以忽略。

相關工具

兩比例 z 檢定計算器檢定兩個百分比或 A/B 測試轉換率的差異，附信賴區間與檢定力。t 檢定計算器由摘要統計量或原始資料計算 Welch、Student、成對與單一樣本 t 檢定及 Cohen's d。單因子變異數分析計算器單因子 ANOVA，含 Welch F、η²、ω²、Tukey HSD 與 Kruskal–Wallis 檢定。

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