1 つの割合に 4 つの信頼区間
よく使われる ± は Wald 区間です。サンプルが大きく割合が中程度なら問題ありませんが、n が小さいときや割合が 0% や 100% に近いときは、実際の被覆率が名目の 95% を大きく下回ります。割合が 0% なら不確実性がまったくないかのような結果になります。
Wilson のスコア区間はこの問題を解消し、推奨される既定の方法です。Clopper–Pearson 区間は正確な二項検定を反転したもので、被覆率を保証する代わりにやや広くなります。Agresti–Coull 区間は「はい」と「いいえ」を z²/2 ずつ加えてから Wald の式を使い、Wilson に近い結果になります。
- 誤差範囲 = z · √(deff · p(1 − p) ÷ n) · √((N − n) ÷ (N − 1))
- z：臨界値（90% で 1.645、95% で 1.960、99% で 2.576）。p：観測された割合（設計段階では 0.5）。
- deff：デザイン効果。ウェイトだけなら Kish の deff = n·Σw² ÷ (Σw)²、有効サンプルサイズ = n ÷ deff。
- N：母集団の大きさ。最後の項が有限母集団修正で、母集団が非常に大きいときは省略できます。
計算例（合成データ）
このサイトのスナックブランドの合成トラッキングデータ（プログラムで生成したサンプルで、実在の回答者ではありません）では、596 人中 149 人が推奨者（推奨意向 9–10）で、p = 25.0% です。
信頼水準 95% の誤差範囲は 1.960 × √(0.250 × 0.750 ÷ 596) = ±3.5% です。Wilson 区間は 21.7% – 28.6%、Clopper–Pearson の正確区間は 21.6% – 28.7% で、この程度のサンプルサイズなら方法による差はほとんどありません。
データにウェイトをかけてデザイン効果が 1.5 になると、有効サンプルサイズは 397 に下がり、誤差範囲は ±4.3% に広がります。
使う場面と使わない場面
誤差範囲は、無作為標本から得た 1 つの割合の標本誤差を表します。
- 調査結果や世論調査の数値の精度を示す。
- 小さなサブグループの誤差範囲が全体よりずっと大きい理由を説明する。
- ウェイト付けで有効サンプルがどれだけ減るかを見積もる。
- 2 つの割合の比較には使わない：それぞれの誤差範囲は差の誤差範囲ではありません。2 つの比率の z 検定を使います。
- 平均や評価の平均点には使わない：p(1 − p) ではなく標準偏差が必要です。
- 非確率型のオンライン標本のカバレッジ誤差や自己選択バイアスは測れません。
結果の読み方
95% 信頼区間とは、同じ方法で何度も標本を取り直すと、そのうち約 95% の区間が真の割合を含むという意味です。同じ調査の 2 つの割合は、区間が重なっていても有意に異なることがあり、逆もありえます。差そのものを検定してください。