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Outils d'études de marché · Association nominale

Coefficient d’incertitude (U de Theil)

Quelle part de l’incertitude sur une variable disparaît quand on connaît l’autre ? Le U de Theil la mesure avec l’entropie.

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Calculer le U de Theil en ligne

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Total
50
50
50
Total465450150

Theil's U

0,154

U(row|col) = 0,154 · U(col|row) = 0,154

χ²(4, N = 150) = 50,32, p < 0,001, V = 0,41

Toutes les statistiques
Chi carré de Pearsonχ² = 50,322, df = 4, p < 0,001
Test G (rapport de vraisemblance)G = 50,805, df = 4, p < 0,001
V de Cramér0,410 (grand)
Coefficient de contingence (C)0,501
Lambda (symétrique / ligne | col / col | ligne)0,357 / 0,370 / 0,344
Goodman–Kruskal gamma (γ)0,685
Kendall's tau-b / tau-c0,494 / 0,493
Somers' d0,494 / 0,494 / 0,493
Theil's U0,154 / 0,154 / 0,154
01

Calcul de U

L’entropie H mesure l’incertitude d’une distribution. H(Y|X) est l’incertitude restante sur Y quand X est connue. La différence est l’information mutuelle ; U la rapporte à l’incertitude initiale.

  • H(Y) = −Σ p(y) · ln p(y)
  • U(Y|X) = (H(Y) − H(Y|X)) ÷ H(Y)
  • U symétrique = 2 · (H(X) + H(Y) − H(X,Y)) ÷ (H(X) + H(Y))
02

Exemple

Pour le tableau d’ouverture [[30, 15, 5], [12, 25, 13], [4, 14, 32]] (n = 150), on obtient U(ligne|colonne) = 0,154, U(colonne|ligne) = 0,154 et un U symétrique de 0,154. Connaître une variable supprime donc environ 15 % de l’incertitude sur l’autre, pour un V de Cramér de 0,41.

03

Quand l’utiliser, et quand l’éviter

U est particulièrement utile quand lambda échoue parce que la modalité la plus fréquente est la même partout.

  • Variables nominales à nombreuses modalités.
  • Questions orientées : quelle part de Y X explique-t-elle ?
  • Ses valeurs sont en général plus petites que le V de Cramér et ne se comparent pas directement.
  • Pour des variables ordinales, U ignore l’ordre.

Sources

Pour aller plus loin

  • Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76(1), 103–154.

  • Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley.

FAQ

Questions fréquentes

Comment interpréter U ?

Comme la part de l’incertitude (entropie) sur Y qui disparaît quand on connaît X. U = 0,15 signifie 15 % d’incertitude en moins.

Quelle différence entre U et lambda ?

Lambda ne regarde que la modalité la plus fréquente, U toute la distribution. U vaut donc plus rarement 0 quand une association existe.

U est-il symétrique ?

Les valeurs orientées U(Y|X) et U(X|Y) peuvent différer ; il existe aussi un U symétrique.

Pourquoi U est-il plus petit que le V de Cramér ?

Les deux mesures n’ont pas la même échelle. Les mesures fondées sur l’entropie sont en général plus petites pour des associations modérées ; comparez U seulement avec U.

Mes données sont-elles envoyées ?

Non. Toutes les saisies sont calculées uniquement dans cet onglet du navigateur ; rien n’est envoyé à un serveur.

Outils associés

V de CramérForce d’association de 0 à 1 pour un tableau de toute taille.Coefficient phiCorrélation signée entre deux variables binaires d’un tableau 2×2.Odds ratio (rapport des cotes)Odds ratio d’un tableau 2×2 avec intervalle de confiance à 95 %.

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